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Nacido en Buenos Aires el 30 de noviembre de 1934, Cossa es uno de los dramaturgos más importantes de la historia del teatro argentino, aunque empezó trabajando como periodista para los diarios "Clarín", "La Opinión" y "El Cronista Comercial", todos de Buenos Aires, y para la agencia de noticias cubana "Prensa Latina".
Es autor de las obras "La Nona", "Yepeto", "El viejo criado", "No hay que llorar", "Los compadritos", "Gris de ausencia", "Ya nadie recuerda a Fréderic Chopin", "Tute Cabrero", "Nuestro fin de semana", "Angelito (El cabaret socialista)" y "El saludador", entre otras.
Para el cine ha adaptado la novela de Osvaldo Soriano "No habrá más penas ni olvido", de Héctor Olivera, sus obras teatrales "La Nona", también de Olivera, y "Yepeto", de Eduardo Calcagnoy; ha escrito con Carlos Somigliana el guión de "El Arreglo", de Fernando Ayala, y el guión de "Tute cabrero", convertido después en obra teatral.
Ha sido galardonado con el Premio Nacional de Teatro argentino y el Premio de la Ciudad de Buenos Aires, además del Premio de Honor de la Sociedad General de Autores de Argentina (Argentores), que presidirá hasta 2010.
Militante por los derechos humanos, fue distinguido por las Madres de Plaza de Mayo por su labor en favor de los derechos humanos e integra la junta directiva de la Comisión por la Memoria que preside el Premio Nobel de la Paz Adolfo Pérez Esquivel.